オイラーの公式

台風6号の襲来以降、新潟、福島の豪雨が続き、夏からぬ天候が続いています。
ここ、たろしろ地方も毎日梅雨のような天候が続いています。気温は高くなく、
肌寒い日々が続いております。体調管理に意を配らなければならない日々が
続いております。皆様の地方は如何がでしょうか？

前置きはこのぐらいにして本題に入ろう。

ここに取り上げるような数学の公式は、これまでこのブログでは取り上げた
ことがなかった。読者の皆様にとって興味のある話題か気にしながら、原稿を
没にするのも忍びないので、取り上げることにした。この投稿は、本来7月31日
に投稿する予定であった。いろいろ考えあぐねた末、投稿することにした。

興味の無い方にとっては、読み飛ばしていただいて結構です。

NHK クローズアップ現代7月27日にもとりあげられ、Google 検索のキーワード
として7月30日現在上位を占めているオイラーの公式について調べてみた。

数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（Euler's formula、オイラーの
恒等式とも）とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式

をいう。ここに、θ は幾何学的には弧度法に従う角と見なされる実変数である。
三角関数を複素変数に関する解析的関数と考えることで、この等式は θ を複素
変数と見ても成立している。レオンハルト・オイラーに帰せられるためこの名が
ある。この公式ははじめ、ロジャー・コーツ によって1714年に提出されたが、
その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、
有名になった。

オイラーの公式の幾何的な表示

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学
などであらわれる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者の
リチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての
数学のなかでもっとも素晴らしい公式」だと述べている。

また、θ = π のとき、オイラーの等式と呼ばれる
eiπ + 1 = 0
が導かれる。

参考資料
オイラーの公式